Bonsoir.
Lorsque le mot « saint » est utilisé pour désigner une fête, un lieu, une institution religieuses, il prend une majuscule et se lie à l’autre partie du nom par un trait d’union.
Ex. Le jour de la Saint-Valentin.

Pour Semaine sainte, comme pour les jours de la Semaine sainte, on utilise la majuscule pour le jour ou pour semaine, mais ma minuscule pour « saint ». Jeudi saint, Semaine saint.
Mais cette règle n’est pas appliquée par tous, et par exemple le Petit Robert ne met pas de majuscule.
Cordialement

Rien de plus délicat que les majuscules — et traits d’union — à appliquer aux expressions relevant de la tradition chrétienne et contenant « saint », comme la sainte ampoule contenait l’huile du baptême de Clovis !

Les linguistes et ouvrages reconnus se déchirent là-dessus et il est vain de chercher une logique quelconque. Le mieux, si vous en avez un usage fréquent, est de vous choisir une source de référence et de vous y tenir. Personnellement, je me réfère à Orthotypographie qui répertorie justement les différentes versions.

Sinon, vous pouvez toujours prier sainte Patience de vous inspirer…