Bonjour, dans la phrase « L’exposition racontera l’histoire du foyer et la vie des hommes qui y ont vécus », faut-il écrire « vécus » ou « vécu »? Merci d’avance

L’exposition racontera l’histoire du foyer et la vie des hommes qui y ont vécu.
Un participe passé -vécu- accompagné de l’auxiliaire AVOIR.
S’il y a accord ce doit être avec un Complément d’Objet Direct du verbe (auxiliaire + PP).
Or, il n’y a pas de COD.
Aucun accord n’est donc possible.
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Histoire est COD de raconter et cela n’a aucune incidence sur le participe passé qui nous intéresse.

C’est effectivement ce que je me disais, mais alors qu’elle est la fonction du « y »?