Bonjour,

Ici dans votre exemple, « il faut que » exprime une nécessité, une obligation. L’emploi du subjonctif présent dans ce cas de figure est donc correct et recommandé puisqu’il y a expression d’un but par la suite ;  » pour qu’il me précise les conditions … »
Or, si vous avez l’intention d’employer le subjonctif passé, votre phrase devra être construite comme suit:   » Il faut que j’aie pris contact avec l’assureur (d’ici un mois / avant qu’il ne soit trop tard par exemple ) pour exprimer l’antériorité, c’est à dire une action qui se passe avant une autre.

Cordialement