Ces deux verbes et cette locution verbale ont des sens très proches mais des nuances existent.
Publier :  rendre public une œuvre dont on est l’auteur en la faisant éditer. Cette action renvoie donc à l‘auteur.
Éditer :Assurer la reproduction, la publication et la diffusion d’une œuvre. Cette action renvoie donc à l‘éditeur dont c’est la fonction
Faire paraître :  publier, mettre en vente,  livrer au public : le sens englobe plusieurs notions et  est donc moins précis que publier dont il est un synonyme (approximatif comme presque tous les synonymes)..