Il vous a fait l’offre de manger avec vous ? Acceptez.
Offre à manger : c’est bizarre, je ne vois pas ce que cela signifie.

Complément après la précision de russeum : 
Les deux sont corrects avec une nuance de sens. 
Il vous offre à manger / il vous offre à boire : correct.  Il paie ou vous fournit la nourriture. 
mais il vous offre de manger : proposer
[Suivi d’un inf. compl.]
♦ Offrir à + inf.Une femme, sur la scène, offrait à boire à un guerrier, exténué de fatigue et de soif (Bourges,Crépusc. dieux,1884, p.16).
♦ Offrir de + inf.Un de mes gardiens eut pitié de mon embarras, et offrit de me faire la courte échelle (About,Roi mont.,1857, p.205).Quand Cyril me quitta, il m’offrit de m’apprendre la navigation à voile (Sagan,Bonjour tristesse,1954, p.17).