Ah mais pourquoi se refuserait-on :  ils se prennent de bec – je me suis pris de bec – nous nous prîmes de bec etc. ?
Le verbe « prendre », bien que pris dans une expression figée, se conjugue normalement.

Pour « bayer », c’est un peu différent.
Depuis le XVIIe siècle, à cause de la concurrence de bâiller, il n’existe plus que dans la tournure bayer aux corneilles, qui signifie “rêvasser”. Il signifie « ouvrir grand ».
Certes, il est possible de retrouver la conjugaison du verbe bayer avec un « i » ou un « y » dans le radical comme pour le verbe « payer ».
Mais comme il est tombé en désuétude, on ne l’emploie presque plus ailleurs que dans cette expression. A la place, on choisit « bâiller ».