Bonjour Benezet,

Je ne sais pas pourquoi, mais je ne peux pas vous répondre en commentaire.
Perso, je pense que dans la présente expression, il ne faut pas analyser « à cœur joie » en tout cas pas par rapport au verbe  « donner » pour lequel il a une fonction adverbiale.  Si on veut pousser l’analyse plus loin, on peut en effet avoir « joie » en fonction de COD, mais d’un autre verbe, celui d’une subordonnée réduite, c’est ce que j’avais exprimé dans mon premier message : Ils se donnent du plaisir / jusqu’à avoir de la joie au cœur –> Ils s’en donnent (en = du plaisir) / jusqu’à en avoir de la joie au cœur –> Ils s’en donnent / à cœur joie.
Peut-être peut-on faire l’économie d’une proposition réduite, et avoir simplement un complément du verbe : à cœur joie = avec de la joie au cœur.

Si on retient votre analyse, quelle fonction donnez-vous à « de quelque chose » ?