On dit « à cause de » qui indique la cause.
« Avec » marque l’accompagnement, le moyen, l’instrument.. V oyez le TLF : AVEC : Définition de AVEC

J’ai pris ce gars pour un voleur à cause de ce qu’il racontait.
« Grâce à » sera employé comme synonyme dans le cas d’une cause positive.
Grâce à son habileté, il parvint à se faire recevoir.

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Il y a un emploi de « avec » qui ressemble à la cause :
Avec son orgueil, comment aurait-il pu accepter une récompense aussi modeste?

Mais pour que ce sens soit possible il faut qu’il introduise une caractéristique de la personne et surtout il dépend du nom ou du pronom dont il est détaché. Le groupe avec + nom peut alors être remplacé par un adjectif :
Avec son chapeau, le bonhomme a l’air ridicule. est l’équivalent de : chapeauté (ainsi), le bonhomme a l’air ridicule.
Avec son orgueil, comment cette femme pourrait-elle accepter ce rôle ?
Comment cette femme, si orgueilleuse, pourrait-elle accepter ce rôle ?

Votre phrase ne correspond pas à cette structure. Il faudrait réécrire; par exemple : avec tous ses mensonges ce gars pouvait passer pour le voleur.