Bonjour Zully.

Quand il désigne le personnage lui-même, saint est un nom commun qui s’écrit sans majuscule : Les trois saints de glace sont saint Mamère, saint Pancrace et saint Servais.
Seule exception Saint Louis, considéré comme un nom propre.

En revanche, saint prend la majuscule lorsqu’il entre dans la formation d’un nom de famille, d’un nom de lieu, de rue, de ville, de fête, etc., et il est suivi d’un trait d’union  : la Saint-Jean-Baptiste.

Votre question présente un intérêt par rapport à la règle classique : le nom de ce saint s’écrit en effet sans trait d’union. Il s’agit de saint Jean (le) Baptiste. Baptiste n’était évidemment pas un prénom à son époque et ce n’est que plus tard que le prénom composé Jean-Baptiste est apparu.
Cela ne change cependant pas la règle typographique de sa fête comme saint patron : À la Saint-Jean-Baptiste (24 juin) les Québécois célèbrent leur fête nationale. Je n’ai d’ailleurs pas encore trouvé d’exception pour cette règle…

Je vous remercie PhL et Chambaron. Vos réponses me comblent.

PhL, je ne savais pas comment vous remercier à nouveau pour la réponse que vous m’avez donnée une fois au sujet des mots composés avec des propositions  (sous) et autres particules. Je suis en train de revoir un texte et j’ai repris votre référence. Vous m’offrez la possibilité de vous remercier une nouvelle fois. Une fois suffit… peut-être ou certainement, mais votre aide a continué à faire ses effets. C’est d’ailleurs souvent que je remercie en pensée l’un ou l’une d’entre vous pour cela.

J’ai pensé, après coup, que si cela avait été une rue, j’aurais mis des traits d’union partout.  Il vaut quand même mieux être sûr ! De plus, j’ai appris le nom des trois saints. J’entends à chaque printemps l’expression des saints de glace, maintenant, je pourrai la compléter dans ma tête.

Chambaron, je vous remercie pour les précisions. Cela m’a rappelé des souvenirs et maintenant, je peux les mettre à la bonne place, ou disons, de la bonne façon. Cela me fait toujours du bien de savoir quelque chose. Je vous l’ai déjà dit, je me sens enrichie avec du savoir et du plaisir. Picasso a eu sa période bleue, j’en suis à celle de la répétition.