Un mail est un écrit et il doit en principe contenir des phrases si possible rédigées.
– Je vous remercie.
– Je vous souhaite une excellente journée.

Si vous y tenez absolument, des formules peuvent être écrites :
– Bonne journée.
– Merci.
Ce sont des phrases nominales réservées à l’oral mais elles doivent se terminer par un point.

Un courriel (préférable à e-mail) est un texte comme les autres (même si l’on rencontre beaucoup de « kc », de « bcp…) et doit respecter les mêmes règles.
Il convient donc de terminer le texte par un point (qui peut être aussi un point d’interrogation ou d’exclamation) : À bientôt !  ou À bientôt.
On terminera alors le courriel par : « Merci et bonne journée. »
Cependant, ne soyons pas puriste, on rencontre souvent l’absence de ponctuation (mais attention au destinataire).
Dans le cas présent, c’est une formule amicale ou cordiale, qui ne nécessite pas de rigidité, mais ce n’est pas toujours le cas, il faut alors être attentif.