Si le nom du saint contribue à la dénomination d’une rue, d’un édifice, d’un ordre religieux, d’une fête, etc., majuscule et trait d’union s’imposent : « rue Saint-Jean ».

La même règle s’applique avec l’adjectif « sainte ».
La chapelle dédiée à sainte Rita reçoit de nombreuses visites. On parle de Rita elle-même, il n’y a donc ni majuscule à « sainte » ni trait d’union.

Donc, je ne mets pas de cap à saint Lazare dans la phrase suivante :
La cathédrale baptisée saint Lazare [sous-entendu la cathédrale est baptisée du nom de saint Lazare] ?

Oui désolée

« Baptiser » une cathédrale, même au sens figuré, me laisse songeur…
Cela étant, il s’agit bien là du nom de l’édifice et non du saint lui-même. On écrira donc : La cathédrale nommée Saint-Lazare . Sinon, mais c’est une autre approche, la cathédrale  consacrée à saint Lazare.