On écrit des après-midi, mais la nouvelle orthographe veut cependant qu’on accorde au pluriel : des après-midis.
Quant à l’explication de l’invariabilité selon l’orthographe traditionnelle, c’est parce que l’après-midi évoque le sens sous-entendu de « après l’heure de midi ».

Pour les noms composés, la règle veut que si le nom en question est composé d’un adverbe suivi d’un nom, seul le nom se met au pluriel.

Sauf que ça ne fonctionne pas pour Après-midi, qui reste invariable : des après-midi.

Ne me demandez pas pourquoi, je ne sais pas.  Mais peut-être que d’autres experts auront la réponse.

Bonjour Monsieur Erick, débutant du Projet Voltaire,

Effectivement, les préconisations orthographiques de 1990 permettent d’accorder « midi » sans se rendre coupable de haute trahison. Chacun choisit selon sa propre philosophie… Rappelons que le l’on peut aussi opter pour son genre , masculin ou féminin (ça, ce n’est pas nouveau).

Voici le texte concernant « après-midi » (site agréé : http://www.renouvo.org/info.php?id=109 ) :
Pluriel : après-midis

Personnellement, je conserve l’ancienne orthographe, bien que souscrivant par ailleurs à maintes modifications apportées par cette nouvelle norme de simplification. C’est toujours le seul et même midi astronomique qui sert de référence (cf. gratte-ciel  ). Par ailleurs, le Projet Voltaire ne reconnaît pas encore les modifications de 1990.  À vous de choisir !

Bonjour,

Hormis dans les cas où cela est expressément prévu ou demandé par leurs clients ou leurs employeurs, la plupart des correcteurs professionnels, dans leur grande sagesse, n’appliquent pas ces conseils d’orthographe rectifiée et à plus forte raison celle qui concerne « après-midi ».