« Celle-ci » se rapporte bien à l’épreuve et non à la demande. C’est la date de l’épreuve qui a été modifiée et non la demande, et cette date a été modifiée de ma propre initiative (j’ai le choix et il s’agit de la même épreuve).
Il me paraît clair que je ne dis pas : « Je porte à votre connaissance que j’ai modifié la date de ma demande du 27 mai pour la demande du 17 juin. », il reste que le texte peut paraître un peu ambigu, cet aspect m’avait échappé ;  j’aurais peut-être dû écrire, quitte à faire une répétition : « Je porte à votre connaissance que j’ai modifié la date de cette épreuve pour celle du 17 juin. », mais le destinataire sait parfaitement de quoi il retourne et n’a pas besoin d’une précision, c’est sans ambiguïté pour lui, et je ne modifie pas ma demande, je l’informe simplement du changement de la date (de l’épreuve), que j’ai choisie.
La seule question est alors la justification grammaticale du pronom « celle-ci » : est-il approprié ou pas ? sans se préoccuper de la rédaction de la phrase proprement dite.

Je reste quand même perplexe sur le fait que vous ayez modifié une date d’épreuve, mais je ne songe pas à mettre en question vos dires… Il me semble toutefois  que vous écrivez pour modifier votre demande (et non la date de votre demande comme vous l’avez écrit). 

Quant au pronom : celui-ci ou celle-ci employé seul désigne une chose ou une personne proche du locuteur dans l’espace et le temps. Il faut – pour être compris- que ce soit très clair. Ainsi, l’exemple suivant fourni par le CNTRL m’étonne un peu, même s’il obéit à la règle. 

EX. : Cette mélancolique émotion me fait jeter en arrière un triste regard sur quelques années de ma vie, quoique ces années soient bien proches de celle-ci, et que cette vie ne soit pas bien longue encore. Vigny, Servitude et grandeur militaires,1835, p. 5.

Ces années sont-elles proches de l’émotion  ? Ce serait logique par élimination, mais il faut remonter loin dans la phrase et je pense que la lecture n’en est pas facilitée. Certes,  les poètes sont plus libres…

Celui-ci  ou celle -ci évoque la chose qui va être dite immédiatement après, au style direct :

Dans votre phrase, sauf le sens général que je n’ai pas saisi, car je ne maîtrise pas les règles (de l’épreuve) et le contexte; s’il s’avère que « celle-ci » désigne l’épreuve, cela me paraît correct car c’est le nom commun le plus proche de « celle-ci ».
Je vous renouvelle ma proposition de répéter le mot pour qu’il n’y ait nulle ambiguïté. Quitte à rédiger votre phrase autrement, je vous fais confiance !

Merci pour votre nouvelle réponse.
C’est bel et bien la date de l’épreuve qui est changée. En effet, plusieurs dates sont proposées pour la même épreuve (il s’agit, en fait, du Certificat Voltaire [et vous saurez tout     😉   ]), et il est permis de modifier la date de sa session.
Il me semble aussi également correct d’employer « celle-ci » se rapportant à l’épreuve, car c’est sans ambiguïté, et je trouve ce terme souvent plus léger que cette dernière, c’est pourquoi j’aime bien l’employer (à bon escient, d’où mon souci et ma réflexion à chaque fois).
Remarque : j’aurais peut-être dû, en effet, plutôt écrire « je souhaiterais » reporter ma demande du 27 mai au 17 juin.
Mais mon texte précise « Je porte à votre connaissance… » et non « je demande ou je modifie ma demande ». J’informe mon interlocuteur que j’ai modifié la date, je ne fais pas de nouvelle demande.
Voilà, tout est dit.

Bonne chance pour le certificat ! Avec un peu d’entraînement, nul doute pour que vous obteniez un très bon score.

Merci. Quitte à en dévier un peu le but, c’est avant tout un jeu pour moi.